因子正交化与降维：施密特与 PCA

黄金段位讲中性化时提过，相关系数高的几个因子放在一起用，等于给同一份信息重复计票。这一篇把处理手段讲透。

方法一：施密特正交化

做法很朴素：按重要性给因子排个序，从第二个开始，把每一个因子对排在它前面的所有因子做一次回归，取回归的残差作为这个因子的新值。残差就是"被前面的因子解释完之后，剩下的那部分"。

经过这一步，新的因子序列彼此不再相关——它们变成了互相垂直的方向。

优点是保留可解释性。正交化后的因子仍是原因子的线性组合，你能说清它大致代表什么。这对后续做归因、跟人解释收益来源很重要。

缺点是依赖处理顺序。先处理的因子保留全部信息，后处理的只剩残差——如果你把价值放在首位、质量放在第二位，那么质量因子里"和价值重合的那部分"就被拿走了。所以排序必须按先验的重要性来，而这个先验本身就是一个判断。

顺带说一句：行业中性化、市值中性化，本质上就是正交化的具体应用——把因子对行业、市值做回归取残差。

方法二：主成分分析

换一个思路：不去排顺序，而是重新构造一组新的变量（主成分），让它们之间互不相关，并且按"解释了多少方差"排序。通常前几个主成分就能代表原数据的大部分信息，于是实现了降维。

优点是一次到位。不需要人为指定顺序，而且能真正减少变量个数——十个高度相关的因子，可能三个主成分就够。

缺点是可解释性差。每个主成分都是所有原因子的加权组合，往往说不清它代表什么。今天是这个组合，下个月数据变了，组合的权重也变了，结构不稳定。这对需要解释收益来源的场合很不友好。

怎么选

判断标准只有一个：你要不要保留可解释性。

需要解释（做因子归因、向出资方说明、判断失效原因）→ 用正交化，保留因子原本的经济含义。

只需要预测效果、并且想把一堆相关变量压缩成少数几个 → 用主成分分析。

两个提醒

其一，正交化会改变收益来源。正交后的因子，收益通常比原来低一些，因为被剥掉的那部分（与其他因子重合的）原本也在贡献收益。换来的是更纯粹、更可控的暴露。这是有意的取舍，不是损失。

其二，相关性本身是时变的。两个因子在某段时间相关度高，在另一段可能很低。所以正交化不能一劳永逸，要定期检查相关性结构有没有变，必要时重新做。

一句人话：正交化是"把重复的票去掉"，降维是"把几张票合成一张"。前者保住含义，后者省下维度。选哪个，取决于你要不要向别人（和自己）解释清楚。

写在最后

处理好因子，下一步是把它们变成最优持仓。下一篇讲组合优化：均值方差方法为什么名声不好，以及怎么改进它。